Потенциальная энергия тела зависит от его положения в пространстве; кроме того, это относительная величина она зависит от того, какая точка отсчета выбрана.
Гармонические колебания
Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.
Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.
Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.
Урок 40. Лабораторная работа № 10. Изучение зависимости периода колебаний нитяного маятника от длины нити
Уравнение движения гармонических колебаний
Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:
Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.
Видно, что в этом случае теряется величина k m . . , служащая постоянной для каждой колебательной системы. Чтобы получить ее во второй производной, нужно усложнить функцию до следующего вида:
Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:
Обозначим постоянную величину √ k m . . , зависящую от свойств системы, за ω0:
Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:
Если его оттянуть на расстояние x max , равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное.
Формула для периода колебаний математического маятника
где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
Промокоды на Займер на скидки
- 💲Сумма: от 2 000 до 30 000 рублей
- 🕑Срок: от 7 до 30 дней
- 👍Первый заём для новых клиентов — 0%, повторный — скидка 500 руб
Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:
Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.
Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.
M.3.7.2. Задания к модели «Математический маятник». Материал для учителя
Примеры задач с решением
Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot ^$м равен T=1 c?\textit
Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:
Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$
1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:
2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:
На практике эту формулу можно использовать для точного нахождения ускорения свободного падения g в разных точках земной поверхности, где g имеет разные значения из-за неравномерной плотности земной коры.
Найти Период Колебания Маятника Если он из Положения 2 в Положение 3 Движется 1C
1. Задания с выбором ответа (правильные ответы даны курсивом )
1. Как изменится период колебаний математического маятника, если амплитуду его колебаний уменьшить в 2 раза? Трение отсутствует.
1)Уменьшится в 1,4 раза.
2) Увеличится в 1,4 раза.
3) Уменьшится в 2 раза.
4) Увеличится в 2 раза.
5) Не изменится .
2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 1,5 раза? Укажите число наиболее близкое к ответу.
1) Уменьшится в 1,2 раза.
2) Увеличится в 1,2 раз а.
3) Уменьшится в 1,4 раза.
4) Увеличится в 1,4 раза.
5) Уменьшится в 1,5 раза.
6) Увеличится в 1,5 раза.
3. При гармонических колебаниях математического маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,5 с. Каков период колебаний маятника?
1) 0,5 с.
2) 1,0 с.
3) 1,5 с.
4) 2,0 с .
5) Среди ответов 1–4 нет правильного ответа.
4. Груз, прикреплённый к невесомой и нерастяжимой нити, совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с периодом 1,5 с и амплитудой 15 см. Чему равна координата груза в момент, когда он достигает максимальной скорости?
1) Только 0 см .
2) Только 15 см.
3) Только –15 см.
4) 15 см или –15 см.
5) Среди ответов 1–4 нет правильного ответа.
5. Груз, прикреплённый к невесомой и нерастяжимой нити, совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с периодом 1,5 с и амплитудой 15 см. Чему равна координата груза в момент, когда он достигает минимальной скорости?
1) Только 0 см.
2) Только15 см.
3) Только –15 см.
4) 15 см или –15 см .
5) Среди ответов 1–4 нет правильного ответа.
1. Математический маятник за 13 с совершил 6,5 полных колебаний. Найдите период колебаний маятника. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте Ваш ответ.
Ответ. 2 с.
2. Прикреплённое к нити тело совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Определите минимальное время, за которое тело проходит расстояние между положениями, соответствующими максимальным смещениям из положения равновесия. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
Ответ. 1 с.
3. Математический маятник длиной 1,1 м совершил 100 колебаний за 210 с. Определите ускорение свободного падения. Ответ приведите с точностью до десятых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
Ответ. 9,8 м/с 2 .
4. Определите длину математического маятника, совершающего гармонические колебания с периодом 1,9 с. Ускорение свободного падения считать равным 9,8 м/с 2 . Ответ приведите в сантиметрах. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
Ответ. 90 см.
5. Период колебаний математического маятника в результате изменения его длины возрос в 1,2 раза. Определите отношение конечной длины маятника к первоначальной. Ответ округлите до десятых. Проведите компьютерный эксперимент и проверьте ваш ответ.
Ответ. 1,4.
Формула периода колебаний математического маятника
Микрофинансирование → Микрокредиты → Специальные предложения → Скачать файлы → Обзор Быстроденег → Предмет договора → Ответственность сторон → Отличные наличные→ Экспресс займы
